Cómo factorizar
¿Ver un número o una expresión acompañado de las instrucciones, "Factorizar completamente", le causa miedo a su corazón? ¿Te gustaría haber prestado atención en álgebra? Bueno, este instructable te enseñará cómo factorizar cualquier número o expresión elegible como Ax ^ 2 + Bx + C.
Paso 1: Factoring Números
En primer lugar, ¿qué es un factor?
Los "factores de números naturales" son el conjunto completo de números enteros, donde si multiplica un número en el conjunto por otro en el conjunto, obtiene el número que está factorizando.
Por ejemplo, el número 5 tiene dos factores: 1 y 5. El número 6 tiene cuatro factores: 1, 2, 3 y 6.
Los "factores enteros" incluyen números negativos.
El número 5 en este caso tendría cuatro factores: -5, -1, 1 y 5. 6 tendría ocho factores: -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3 y 6.
(Los números naturales son números sin fracciones, comenzando desde 1, 2, 3, 4, 5 ... hasta el infinito. Los enteros son números naturales, así como sus contrapartes negativas y 0, o ...- 5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...)
Factorizar números con el conjunto de números naturales es simple. Cada número tiene al menos dos factores. Para encontrar otros factores, comience a dividir el número comenzando por dos y avanzando hacia arriba hasta llegar a ese número dividido por 2. Cualquier cociente que no tenga un resto significa que tanto el divisor como el cociente son factores de ese número.
Digamos que necesita factorizar el número 9. No puede dividir entre dos de manera uniforme, por lo que lo omitimos. (Tenga en cuenta la solución, 4.5, para saber cuándo detenerse más adelante). 9 es divisible por 3, por lo tanto, agregue 3 a su lista de factores. Avanza hasta dividir entre 5 (9 dividido por 2, redondeado). Terminarás con 1, 3 y 9 como una lista de factores.
Al factorizar números en el conjunto de enteros, solo puede agregar el equivalente negativo de sus soluciones a partir de la factorización de números naturales. Entonces 9 tendría factores de -9, -3, -1, 1, 3 y 9.
Factorizar números negativos solo se puede hacer con factorización entera. La solución es la misma que obtienes factorizando la versión positiva del número. -9 tiene factores de -9, -3, -1, 1, 3 y 9.
El cero es el único número entero que tiene una cantidad infinita de factores, y es el único que tiene cero como factor.
Paso 2: Factorizar el GCF a partir de una expresión
Y no, no me refiero a tener en cuenta la expresión de su jefe cuando le dice que accidentalmente inundó la sala de descanso con café.
Las expresiones algebraicas consisten en números, que se llaman coeficientes, y variables, que pueden elevarse a una potencia. En la expresión x ^ 2 + 6x + 8, 1 es el coeficiente de x ^ 2, la variable. (Si no ve un coeficiente antes de una variable, es un 1, porque x ^ 2 se multiplica por 1.) Asimismo, 6 es un coeficiente de x ^ 1. (Una variable solitaria se eleva a una potencia de uno.) 8 se llama constante; no se multiplica por una variable. (Puede visualizar que se multiplica por x ^ 0, y cualquier número elevado a la potencia 0 es igual a 1).
Para factorizar una expresión, debe comenzar factorizando el MCD, o el máximo común divisor. Liste los factores de cada componente de la expresión. Aquí estamos interesados en encontrar los factores numéricos naturales.
La expresión x ^ 2 + 6x + 8 tendría factores que se verían así:
x ^ 2: 1
6x: 1, 2, 3, 6
8: 1, 2, 4, 8
Si observa las tres listas, solo hay una cosa que todos tienen en común, la número uno. Esto significa que no hay coeficiente mayor que uno para factorizar.
Luego nos fijamos en los poderes de los exponentes. 2, 1 y 0. Si ve un cero, la expresión no puede ser factorizada por una variable.
Esta expresión está lista para el siguiente paso.
Aquí hay un ejemplo que tiene un MCD que necesita ser factorizado: 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 10x. Factoriza cada parte:
2x ^ 3: 1, 2
18x ^ 2: 1, 2, 3, 6, 9, 18
10x: 1, 2, 5, 10
Aquí podemos ver que las partes tienen 1 y 2 en común. Encontramos el número más grande, 2.
Luego observamos las potencias de los exponentes: 3, 2 y 1. Encuentra el número más pequeño que no sea 0, en este caso, el número uno. Eso significa que x ^ 1, o simplemente x, se puede dividir en la expresión.
Multiplica el número y la variable para obtener 2x. Luego divide cada parte de la expresión entre 2x.
2x ^ 3 / 2x = x ^ 2
18x ^ 2 / 2x = 9x
10x / 2x = 5
La expresión con el MCD factorizado es 2x (x ^ 2 + 9x + 5). Tenga en cuenta que debe poner la expresión factorizada entre paréntesis y escribir el GCF al lado.
Paso 3: Factorizar binomios
Los binomios son expresiones con solo dos términos agregados.
2x ^ 2 - 4x es un ejemplo de binomio. (Puede decir que se está agregando un 4x negativo a 2x2).
Primero, factoriza el MCD, 2x. Te quedan 2x (x - 2). Esto es lo más lejos que puede llegar este binomio. Cualquier binomio en la forma 1x +/- n no se puede factorizar más.
Cuando tienes un binomio que es una variable con un exponente par, agregado a un número negativo que tiene una raíz cuadrada que es un número natural, se llama un cuadrado perfecto.
x ^ 2 - 4 es un ejemplo de esto. Se puede expresar como el producto de la raíz cuadrada de la variable más la raíz cuadrada de la constante positiva, y la raíz cuadrada de la variable menos la raíz cuadrada de la constante positiva.
¿Eh?
Básicamente, saca la raíz cuadrada de la variable. Terminarás con x. Luego raíz cuadrada del 4. Terminarás con 2. Si los sumas, obtendrás x + 2. Restarlos, y obtendrá x-2. Multiplique los dos y obtendrá (x + 4) (x-4). Acabas de factorizar un cuadrado perfecto.
Si multiplica (x + 2) (x-2) junto con FOIL, terminará con x ^ 2-4.
(FOIL: First Outer Inner Last, una forma de multiplicar dos binomios juntos. Multiplique los primeros términos de los binomios (x y x en este caso), luego los dos externos (x y -2), luego los dos internos (2 y x), luego los últimos términos (2 y -2), luego agréguelos todos. x ^ 2 - 2x + 2x - 4 = x ^ 2 - 4.)
Esto se puede hacer nuevamente si uno de los binomios es un cuadrado perfecto, como en este caso:
x ^ 4 - 16 = (x ^ 2 + 4) (x ^ 2 - 4) = (x ^ 2 + 4) (x + 2) (x - 2).
Esto puede factorizarse aún más si introduce números irracionales, vea el paso [9].
Cómo factorizar binomios en forma de (x ^ 3 + b ^ 3):
Simplemente conéctelo a (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2). Por ejemplo, (x ^ 3 + 8) = (x - 2) (x ^ 2 + 2x + 4).
Cómo factorizar binomios en forma de (x ^ 3 - b ^ 3):
Conecte a (a + b) (a ^ 2 - ab + b2). Tenga en cuenta que los dos primeros signos en la expresión cambian.
(x ^ 3 - 8) = (x + 2) (x ^ 2 - 2x + 4).
Ambos ejemplos se pueden factorizar aún más una vez que aprenda a factorizar trinomios en el paso [4].
Paso 4: Factoring Trinomios
Trinomios: una expresión con tres términos sumados. 2x ^ 2 + 6x - 8 servirá como nuestro afortunado demostrador.
Primero, factoriza el MCD. Este SIEMPRE será su primer paso al factorizar CUALQUIER expresión.
2 (x ^ 2 + 3x - 4)
Si termina con una potencia de x mayor que dos después de factorizar el GCF, continúe con otro paso.
Enumera los factores enteros de la constante. Querrás dos pares de ellos así:
-4, 1
-2, 2
-1, 4
Desea encontrar uno de estos que, cuando se suman, sea igual al coeficiente del segundo término, 3. -1 + 4 = 3. A partir de aquí, escriba dos conjuntos de paréntesis con x dentro:
(x) (x)
Luego pegue los dos términos que funcionaron entre paréntesis.
(x - 1) (x + 4)
No olvide volver a agregar el GCF.
2 (x - 1) (x + 4)
Así es como se factoriza un trinomio.
Aquí hay otro: 2x ^ 2 + 11x - 6.
Esta vez hay un giro: el coeficiente de x ^ 2 no es 1. Esto significa que agregaremos otro paso:
Enumere los factores de la constante, -6, así como el coeficiente de x2, 2.
-6, 1
-3, 2
-2, 3
-dieciséis
1, 2
Ahora, querrás multiplicar cada uno de los factores en el lado izquierdo por 1, y en el derecho por 2. Repite cambiando el 1 y 2. Terminarás con
-6, 2
-3, 4
-2, 6
-1, 12
-12, 1
-6, 2
-4, 3
-2, 6
Encuentre el par que se suma al coeficiente del término medio, en este caso, -1 + 12 = 11. Configure los paréntesis:
(x) (x)
Introduzca los números originales (que tenía antes de multiplicar por 1 y 2):
(x - 1) (x + 6)
Luego, pegue uno y dos como coeficientes de x para que cuando multiplique los términos externo e interno y los sume, obtenga 11.
(2x - 1) (x + 6)
Si revisas tu trabajo FALTANDO, terminarás con 2x ^ 2 + 11x - 6, la expresión con la que comenzaste. ¡Felicidades!
Paso 5: Factorizar trinomios por sustitución
9x ^ 4 + 45x ^ 2 + 14.
¿No crees que esta expresión sería más fácil de factorizar con números más pequeños y potencias variables?
Puede sustituir un número más bajo y una potencia variable de la siguiente manera:
Establezca n = 3x ^ 2 (el MCD de las potencias variables y la raíz cuadrada del MCD de los coeficientes de los números multiplicados por una potencia de x). Luego sustitúyalo dividiendo los términos en la expresión original por n.
n ^ 2 + 15n + 14.
Ahora puedes factorizar fácilmente.
(n + 14) (n + 1).
Pegue el 3x ^ 2 de nuevo en la expresión donde están las n.
(3x ^ 2 + 14) (3x ^ 2 + 1).
Paso 6: la ecuación cuadrática
Si ninguna de las combinaciones que obtienes (del paso 4) suman bien, tendrás que usar la ecuación cuadrática.
(-b +/- sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / 2a
(sqrt (#) = raíz cuadrada de #)
Donde un trinomio tiene la forma ax ^ 2 + bx + c.
Entonces, si quisieras usar la fórmula cuadrática con 1x ^ 2 + 3x + 2, deberías conectarte así:
(-3 +/- sqrt (3 ^ 2 - 4 (-2) (1)) / 2.
Esto se simplifica a (-3 +/- sqrt 17) / 2. Los factores de 1x ^ 2 + 3x + 2 serían (x - ((-3 + sqrt 17) / 2)) (x - ((-3 - sqrt 17) / 2)). (Pega la respuesta a la derecha de una "x -". Más sobre por qué eso funciona, en el paso [8]).
Paso 7: Factorizar polinomios agrupando
A veces obtendrás cuatro o más términos, que se parecen a esto:
2x ^ 2 + 6x ^ 3 + 5x ^ 7 + 15x ^ 8
No hay un coeficiente común, y factorizar x ^ 2 no ayuda mucho. Aquí es donde usarías la agrupación para factorizar.
Agrupar significa factorizar el MCD de solo dos términos de la expresión. Puede ver que 2x ^ 2 + 6x ^ 3 y 5x ^ 7 + 15x ^ 8 pueden tener un GCF extraído. Hazlo
2x ^ 2 (1 + 3x) + 5x ^ 7 (1 + 3x)
Tenga en cuenta que hay un factor común, 1 + 3x. Esta expresión se puede reformular a (2x ^ 2 + 5x ^ 7) (1 + 3x). Ahí está tu respuesta.
Tenga en cuenta que (2x ^ 2 + 5x ^ 7) (1 + 3x) puede factorizarse aún más factorizando un x ^ 2 del primer binomio: x ^ 2 (2 + 5x ^ 5) (1 + 3x).
Paso 8: Factorizar polinomios por división sintética
A veces obtendrás polinomios bestiales que parecen no tener esperanza.
3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2 es un ejemplo. No puede usar la agrupación para factorizar un MCD de una manera que produzca un factor común.
Para explicar cómo funciona esto, debe saber que al resolver una ecuación factorizando, debe establecer la cosa factorizada igual a 0 y averiguar qué X es igual para que sea igual a cero. Por ejemplo, 0 = (x - 2) (x + 1). Las soluciones son 2 y -1.
Si un polinomio tiene coeficientes enteros, cada cero, o solución, tiene la forma P / Q, donde P = un factor del término constante y Q = un factor del coeficiente principal.
Básicamente, si enumera todos los factores de la constante y los divide por los factores del coeficiente principal (el coeficiente junto a la variable con la potencia más alta) en cada combinación, obtendrá una lista de posibles soluciones racionales. ¿Cómo te ayuda esto a factorizar? Si obtiene 2 como solución, puede trabajar hacia atrás y decir que uno de los factores de la ecuación fue (x - 2).
Entonces, volviendo al ejemplo:
Factores de 2: +/- 1, +/- 2 (debe incluir negativos)
Factores de 3: +/- 1, +/- 3
P / Q: +/- 1, +/- 1/3, +/- 2, +/- 2/3
Una vez que tenga su lista, usará algo llamado división sintética para ver cuáles de esos P / Q son realmente soluciones.
La división sintética es una forma de dividir polinomios por un binomio de la forma xk. No voy a explicar cómo funciona, solo mostraré cómo usarlo para factorizar.
Primero, coloque uno de sus P / Q en una pequeña caja o conjunto de paréntesis, luego enumere los coeficientes y la constante en una fila al lado. Si el polinomio omite una potencia (x ^ 2 + 2), entonces debe agregar un 0 para donde x1 debería haber estado.
(Expresión: 3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2)
(Ignore los asteriscos, se usan como marcadores de posición. Mejor aún, vea la primera imagen).
(1) 3 8 -9 2
Deje un espacio en blanco, dibuje una línea, luego suelte el primer término, 3, hacia abajo.
(1) 3 8 -9 2
*** 3
Luego multiplíquelo por el número en el cuadro y colóquelo debajo del siguiente término.
(1) 3 8 -9 2
****** 3
*** 3
Agregar 8 + 3
(1) 3 8 -9 2
****** 3
*** 3 11
Multiplicar.
(1) 3 8 -9 2
****** 3 11
*** 3 11
Añadir.
(1) 3 8 -9 2
****** 3 11
*** 3 11 2
Multiplicar.
(1) 3 8 -9 2
****** 3 11 2
*** 3 11 2
Añadir.
(1) 3 8 -9 2
****** 3 11 2
*** 3 11 2 4
Esa cadena de números, 3, 11, 2, 4, le da una expresión con un grado menos (si el máximo exponente en la expresión original es 3, el máximo exponente en el cociente será un 2), así como el resto.
(Expresión original: 3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2)
Cociente: 3x ^ 2 + 11x + 2 Remanente 4
Si obtienes un resto, entonces el número en el cuadro que intentaste no es una solución para la ecuación. Tache ese número de su lista e intente nuevamente con otro número. Es más o menos adivinar y comprobar.
Eventualmente probarás 1/3 y verás que se divide limpiamente. Terminarás con:
(x - 1/3) (3x ^ 2 + 9x - 6).
Ahora que tienes un trinomio de poder dos, puedes retroceder y factorizarlo. ¡No olvides sacar el GCF primero! Te quedan con (x - 1/3) (3) (1x ^ 2 + 3x + 2). Factoriza el trinomio a través de la ecuación cuadrática (esta ecuación se usó como ejemplo en el paso [6], así que consulta si es necesario). Terminará con (3) (x - 1/3) (x - ((-3 + sqrt 17) / 2)) (x - ((-3 - sqrt 17) / 2)). Muy feo, pero así es como lo haces.
Paso 9: Factoring adicional: irracionales e imaginarios
El número de binomios sin una raíz perfecta que se resta de una variable al cuadrado como (x ^ 2 - 2) puede factorizarse aún más usando raíces cuadradas. (x + sqrt (2)) (x - sqrt (2)). Esto trae el conjunto irracional de números.
Los binomios con un número agregado a una variable al cuadrado como (x ^ 2 + 1) pueden factorizarse aún más usando números imaginarios. "i" representa la raíz cuadrada de la negativa. Entonces (x ^ 2 + 1) puede factorizarse en (x + i) (x - i). Esto trae el conjunto imaginario de números.
Paso 10: ¡Huzzah!
Ahora sabe cómo factorizar cualquier número o expresión que probablemente encuentre. ¡Bien por usted!
También hay programas que pueden hacer esto por usted. Si buscas "polyroot" en Google, obtendrás enlaces a algunos programas para tu computadora. Las calculadoras gráficas HP 39 / 40gs tienen la función de polirraíz incorporada. Si tiene una calculadora gráfica TI-89, también tiene una función de factorización. Las calculadoras gráficas TI modelo anteriores no lo tienen incorporado, pero tienen programas de factorización. Google "ti quadratic solver" para programas que puedes transferir a tu calculadora gráfica TI.
También puede encontrar soluciones reales a las ecuaciones cuadráticas al graficarlas y usar la función 'cero' para calcular dónde se cruza el gráfico con el eje x. Luego puede pegar ese número al lado de una "x -".
Descargo de responsabilidad: la mayoría de las clases de matemáticas no permiten las calculadoras que pueden factorizar, o le hacen borrar la memoria (junto con los programas) de las calculadoras programables. Además, si alguna solución tiene una raíz no natural, obtendrá una larga cadena de decimales que no es adecuada como respuesta. Solo aprende a hacerlo a mano.
