Cálculo de hoja de cálculo: derivados e integrales
El cálculo puede ser un poco complicado cuando lo aprendes por primera vez. Aquí le mostramos cómo puede utilizar los programas de hojas de cálculo para su ventaja. Use esto para verificar sus respuestas o simplemente tener una idea de cómo se ve un gráfico. Si está haciendo la integración, entonces probablemente también sepa que hay algunas funciones que no tienen antiderivadas elementales. Puede usar hojas de cálculo para visualizar el aspecto de las antiderivadas de estas funciones.
Solo una nota rápida: a lo largo de este instructable me refiero a mí mismo como nosotros. Este no es el real, estamos haciendo este proyecto con un grupo de otras 3 personas para una clase en UBC, así que cuando digo que nos referimos a nosotros, mi grupo.
Paso 1: Establezca sus valores X
Lo primero que necesitará es un programa de hoja de cálculo como Excel, Numbers u OpenOffice. Si no sabe cómo usar ninguno de estos programas, no se preocupe, es bastante fácil aprender.
Para demostrarlo, vamos a usar la ecuación y = 2x3 + 6x2-12x + 4. Es la misma ecuación que se muestra en la imagen a continuación, que se ve mucho mejor. Elegimos esta ecuación porque encontrarla es derivada y antiderivada será fácil, por lo que podemos verificar nuestra respuesta.
Primero, desea poner sus valores x en su hoja de cálculo, hice que el mío pase de -5 a 5. También establezca el tamaño de su paso, configuré el mío en 0.1. También puede usar 0.01 (sería un poco más preciso) pero generalmente no desea ir más pequeño. Una vez que sus columnas tienen más de unos pocos miles de celdas, su computadora tarda una eternidad en procesarlas todas a la vez. Para mi computadora, debajo de 1000 celdas generalmente funciona bien.
Ponga el tamaño de su paso en una celda (yo uso A2). Coloque su valor inicial en la parte superior de la siguiente columna, la segunda imagen a continuación le muestra cómo debería ser. Luego, en la celda a continuación (B2) escriba "= B1 + $ A $ 2" sin las comillas, presione enter. Los signos de dólar le indican a su programa de hoja de cálculo que haga referencia a A2 sin importar en qué celda copie la ecuación. Coloque el cursor sobre la esquina inferior derecha de la celda, debe haber un pequeño cuadrado negro, haga clic y arrástrelo hacia abajo, a medida que lo arrastra, verá que los números se hacen cada vez más grandes. Es difícil de describir, mira la tercera imagen. Arrastre este cuadro hacia abajo hasta llegar al otro extremo de su rango X, en este caso 5.
Paso 2: conecte su función y grafíquela
Ahora solo conecte su función para que cada celda sea una función de la que está al lado. Donde sea que tenga una variable indefinida (x), simplemente ponga B1, B2, etc., dependiendo de la celda en la que esté trabajando. En este caso, escriba "= 2 * B13 + 6 * B12-12 * B1 + 4" en el cuadro C1 (use shift + 6 para hacer el signo de potencia en Excel, los instructables simplemente superíndices todo cuando lo uso aquí). Aviso que es la misma función que antes, excepto que en lugar de X estamos usando B1. Además, asegúrese de poner asteriscos para los signos de multiplicación, tiene sentido escribir 2B1, pero no funcionará, escriba 2 * B1.
Luego, simplemente arrastre su caja hacia abajo, al igual que en el paso anterior. Si está utilizando Excel, también puede hacer doble clic en la esquina inferior derecha de su celda, y lo hará por usted.
Ahora, para graficarlo. Busque el botón de gráficos en cualquier programa de hoja de cálculo que esté utilizando. Asegúrese de hacer un diagrama de dispersión XY. Luego haga clic derecho en su nuevo gráfico y presione "seleccionar datos" para que sus valores X (columna B) sean sus valores X, y los valores Y (columna C) sean sus valores Y. Presiona OK.
Ahora debería tener una buena gráfica de sus datos. Probablemente será una gran colección de puntos, si hace clic derecho en los puntos de datos en su gráfico y selecciona "formatear series de datos", puede convertirlo en una línea (asegúrese de marcar "línea suavizada" si tiene la opción.) Además, vaya al estilo de marcador y seleccione "sin marcador" que se interponen en el camino.
Ahí está tu función, ¡ahora vienen cosas divertidas, derivados e integrales!
Paso 3: ¡diferencialo!
Trazar la derivada es relativamente fácil. Una derivada tiene la forma "dy / dx", en otras palabras, el cambio en y sobre el cambio en x. El cambio en x es fácil, y nunca cambia, es justo lo que escribimos en la celda A2, que en este caso es 0.1. El cambio en y simplemente será la diferencia entre las celdas, lo cual no es difícil de entender. Escriba "= (C2-C1) / $ A $ 2" para la celda D2, luego arrástrelo hacia abajo (o haga doble clic en la parte inferior derecha de la celda). La imagen le dará una buena idea de qué hacer. No habrá nada en la celda D1, al diferenciar perdemos una de las celdas, pero si su dx es lo suficientemente pequeña, no importa. Asegúrese de escribir esto en D2 en lugar de D1, de esa manera cuando lo arrastre hacia abajo, la última celda no mostrará un número ridículamente enorme.
Grafique esto en el mismo gráfico que el último, use los mismos valores de x que antes. Ahí está tu derivada. También puede hacer la derivada a mano y trazarla para asegurarse de que coincida, debería.
Esto es útil si tiene problemas para diferenciar una función y desea ver cómo se ve la derivada. Sin embargo, una vez que domine la diferenciación, se vuelve bastante fácil y realmente no necesitará esto. La integración, por otro lado, es un poco más difícil, también hay algunas funciones que no sabrá cómo integrar. ¡Hagámoslo con hojas de cálculo!
Paso 4: ¡Integrate!
Una integral es esencialmente el área entre una curva y el eje x. También hay un "área negativa" cuando la función es negativa. La integral es el área neta debajo de una curva. Eso debería ser bastante fácil de calcular.
Estamos encontrando el área utilizando un método de aproximación conocido como sumas de Riemann. Básicamente, estamos dibujando muchos rectángulos que se aproximan a la forma de nuestra curva. Si sumamos el área de cada rectángulo, sabemos (más o menos) el área debajo de la curva. La imagen de abajo vale más que mil palabras.
En la celda E1, escriba "= C1 * $ A $ 2" y arrástrelo hacia abajo. Estos son los "rectángulos" que necesitamos sumar.
En la celda F1, escriba "= SUMA ($ E $ 1: E1)" y arrastre la celda hacia abajo. Lo que está haciendo aquí es sumar todos los rectángulos de la celda uno a la celda x. Esta es la integral indefinida. Continúa y grafica en tu trama. Todas las integrales están relacionadas por una constante. Si hubiera escrito "= SUMA ($ E $ 1: E1) +200" en el último paso, seguiría siendo la integral que está buscando. Realmente no importa qué constante uses.
Paso 5: Hagamos una integral definida
Si estás en un curso de cálculo, probablemente te pedirán que hagas algunas integrales definidas. Básicamente se integra de un valor x a otro. Usando la integral que acaba de hacer, verificar su respuesta puede ser bastante fácil. Por ejemplo, intentemos la integral que se muestra a continuación. Este es el que acabamos de trazar anteriormente. Si ya sabe cómo integrarlo, resuélvalo a mano, debería obtener 92.5.
Para aproximarlo sin una hoja de cálculo, simplemente escribimos (en cualquier celda) "= F81-F31". La fila 81 es donde x = 3, la fila 31 es donde x = -2. Lo que estás haciendo es tomar la integral indefinida en x = 3 y restar la integral indefinida cuando x = -2 de ella.
En esta hoja de cálculo, la respuesta que obtuvimos fue 94.58. No es una mala aproximación, pero no le daría ningún punto en una tarea (a menos que se le pida que aproxime una función usando sumas finitas). Si usa un tamaño de paso de 0.01, obtiene 92.70, aún más preciso. Con un tamaño de paso de 0.001 obtienes 92.52, que es aún más preciso. Sin embargo, probar tamaños de pasos más pequeños sería ridículo, tomaría unos cientos de miles de celdas y su computadora tardaría un tiempo en resolverlo.
He adjuntado la hoja de cálculo de demostración a continuación. Disfrutar.
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